Здравствуйте!
Если не писать заявление о переносе, то оплачиваемый отпуск будет автоматически продлен на количество дней болезни. Если больничный длился 11 дней, то и отпуск продлевается на 11 дней. Значит, вместо 01.06 он закончится 12.06.
По поводу отпуска за свой счет: как с ним быть, зависит от того, нужен он или уже нет. Если не нужен, достаточно подать заявление об отказе от него и выйти на работу 13.06. Компания не вправе не принять заявление, как и не может требовать, чтобы работник «отгулял» весь согласованный отпуск без содержания. Если она так поступит, работник сможет обжаловать это в суде, и такие случае в судебной практике есть (например, определение Первого кассационного суда общей юрисдикции от 12.04.2022 № 88-10087/2022 по делу № 2-1670/2021).
Если отпуск без оплаты все еще нужен, то будет логично начинать его с 13.06. Однако предоставляется он по согласованию с работодателем, кроме отдельных случаев. Поскольку теперь работнику нужно, чтобы отпуск без оплаты начинался не с 02.06, а с 13.06, его придется согласовывать заново.